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Les nombres premiers de Sophie Germain

Notre ambassadrice Valérie a décidé de traiter simultanément deux sujets qui lui tiennent particulièrement à cœur : la place des femmes en sciences et la théorie des nombres.

Marie-Sophie Germain (1776-1831) est considérée comme l’une des premières mathématiciennes françaises de l’Histoire. Sa fascination pour les mathématiques ainsi que son autodidactisme lui ont permis d’être connue pour ses travaux sur la théorie des nombres et sur l’élasticité des corps.

En 1794, l’Ecole Polytechnique de Paris est fondée avec pour objectif de former des scientifiques d’exception. Malheureusement, à cette époque, l’enseignement était réservé aux hommes. Mais il en faudra bien plus pour décourager Sophie Germain. En se faisant passer pour Antoine Auguste le Blanc, elle se procure les supports de cours et rend les différents travaux sous ce même pseudonyme. Un de ses professeurs, le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, impressionné par la qualité des travaux soumis par Monsieur le Blanc, demande à rencontrer son étudiant. Obligé de révéler sa vraie identité à son professeur, Antoine Auguste le Blanc redevient Marie-Sophie Germain. Devant la détermination de son étudiante, Joseph-Louis Lagrange accepte de garder le secret et devient son mentor.

Les travaux, essais et écrits d’autres mathématiciens tels qu’Adrien-Marie Legendre ou Carl Friedrich Gauss ont conduit Sophie Germain à s’intéresser plus profondément à la théorie des nombres. Après ses études, elle se penche sur le dernier théorème de Fermat.

Dernier théorème de Fermat :

Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z qui satisfont l’équation suivante « xn + yn = z n »

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

En 1819, Carl Friedrich Gauss reçoit une lettre dans laquelle Sophie Germain lui expose son idée de preuve générale pour le dernier théorème de Fermat, idée maintenant connue sous le nom de théorème de Sophie Germain.

Théorème de Sophie Germain :

Soit p un nombre premier impaire. S’il existe un nombre premier auxiliaire θ qui satisfait les 2 conditions suivantes :

  1. xp + yp + z= 0 mod θ implique que x = 0 mod θ, ou y = 0 mod θ, ou z = 0 mod θ, et
  2. x= p mod θ est impossible pour toutes valeurs de x,

Alors le premier cas du dernier théorème de Fermat est vrai pour p.

Bien que son théorème, démontré en 1823, ne soit qu’une solution partielle au dernier théorème de Fermat, ses résultats restent parmi les plus importants du 19e siècle.

En théorie des nombres, un nombre premier est un entier naturel divisible uniquement par 1 et lui-même. Un nombre p est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2p + 1 est également un nombre premier. Le nombre 2p + 1 associé à p est appelé nombre premier sûr.

13 est un nombre premier de Sophie Germain car 2 x 13 + 1 = 27, où 27 est le nombre premier sûr associé à 13.

Une suite de nombres premiers est appelée chaîne de Cunningham de première espèce si pi+1 = 2pi + 1 pour i = 1, …, k. Chaque terme de la suite, mise à part le p1 et pk, sont à la fois des nombres premiers de Sophie Germain et des nombres premiers sûr. p1 est nombre premier de Sophie Germain et pk est un nombre premier sûr.

Exemple : p1 = 2, p2 = 2 x 2 + 1 = 5, p3 = 2 x 5 + 1 = 11, p4 = 2 x 11 + 1 = 23, p5 = 2 x 23 + 1 = 47

Il est conjecturé qu’il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain, mais sans preuve pour le moment. En plus de prouver partiellement le dernier théorème de Fermat, ces nombres ont des applications dans divers domaines comme la cryptographie par exemple.

Le plus grand nombre premier de Sophie Germain connu (388'342 décimales) : p = 2’618’163’402’417 x 21’290’000 – 1

La plus longue chaîne de Cunningham de premier ordre : k = 17 avec p1 = 2’759’832’934’171’386’593’519

Lors des siècles passés, et encore actuellement dans certains pays, les femmes sont considérées comme « scientifiquement incompétentes ». C’est-à-dire qu’elles ne peuvent pas comprendre et encore moins participer aux avancées scientifiques. Sophie-Marie Germain n’as jamais reçu de prix pour ses travaux. Sa fascination pour les mathématiques était plus forte que tout. Elle se distingue de ces confrères masculins par son refus de se soumettre aux mœurs et aux préjugés de son époque.

En tant que future ingénieure, je vois dans son attitude un bel exemple à suivre !

Work hard in silence, let your success be your noise – Frank Ocean


Sources:

Sophie Germain and Special Cases of Fermat’s Last Theorem” by Colleen Alkalay-Houlihan

<http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremSoGe.htm>

“Théorème de Sophie Germain” par Florian Lemonnier 

Wikipedia

Sophie Germain. Photo :   Sophie Germain

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